Знайомство з фракталами

Озираючись навколо, ви могли помітити такі рослини

Спочатку вони виглядають як дуже складні форми, але якщо придивитися ближче, можна помітити, що обидві вони мають відносно просту закономірність: усі окремі частини рослин виглядають точно так само, як і вся рослина, тільки менші. Той самий малюнок повторюється знову і знову, у менших масштабах.

У математиці ми називаємо цю властивість самоподібністю, а форми, які її мають, називаються фракталами

Фрактал - це геометрична форма, яка має дробовий розмір. Багато відомих фракталів схожі між собою, а це означає, що вони складаються з менших копій самих себе. Фрактали містять шаблони на кожному рівні збільшення, і їх можна створити повторюючи процедуру або повторюючи рівняння нескінченно багато разів.

Вони є одними з найкрасивіших і химерних об’єктів у всій математиці.

Щоб створити власні фрактали, ми повинні почати з простого шаблону, а потім повторювати його знову і знову, у менших масштабах.

У створенні власного фрактала тобі допоможе вправа, створена в програмі GeoGebra. Переходь у повноекранний режим та використовуй інструменти ПОВЗУНОК, за допомогою яких ти зможеш змінити довжину, кут нахилу гілок, збільшити кількість ітерацій. Таким чином ти створиш свій власний фрактал.

Інший відомий фрактал - це трикутник Серпінського.

Трикутник Серпінського є -автомодельним фрактал. Він складається з рівностороннього трикутника, з меншими рівносторонніми трикутниками, рекурсивно видаленими з залишкової площі.

Вчи більше…

У цьому випадку ми починаємо з великого рівностороннього трикутника, а потім неодноразово вирізаємо менші трикутники з решти частин.

Зверніть увагу, як складається остаточна форма три однакових копій  самого себе, і кожен з них складається з ще менших копій всього трикутника! Ви можете продовжувати масштабувати трикутник, і візерунки та форми завжди будуть повторюватися. Переконайтесь у цьому, працюючи з вправою та використовуючи інструмент ПОВЗУНОК.

Рослини, про які ми говорили на початку цього розділу, виглядають так само, як фрактали, але створити справжні фрактали в реальному житті явно неможливо. Якщо ми будемо повторювати один і той самий малюнок знову і знову, все менше і менше, ми зрештою потрапимо до клітин, молекул або атомів, які вже не можна поділити.

Однак, використовуючи математику, ми можемо подумати про властивості, які “мали б” реальні фрактали - і це дуже цікаво…

Сніжинка Коха

У природі існує багато форм, схожих на фрактали. Деякі рослини ми вже бачили на початку цього розділу. Інші чудові приклади - сніжинки та кристали льоду:

Щоб створити власну фрактальну сніжинку, нам знову потрібно знайти просту процедуру, яку можна застосовувати знову і знову.

Як і трикутник Сірпінського, почнемо з єдиного рівностороннього трикутника. Однак замість того, щоб видаляти менші трикутники на кожному кроці, ми додаємо менші трикутники по краю. Довжина сторін кожного трикутника дорівнює 1/3 довжини сторін трикутників на попередньому кроці.

Чи можете ви придумати інші способи створення власних фракталів?