Задачі на папері в клітинку

Дано зображення геометричної фігури на папері в клітинку, потрібно знайти площу цієї фігури. Подібне завдання може розв'язати будь-який учень.

Розглянемо наступну задачу: Знайдіть площу трапеції, зображеної на папері в клітинку, розміри клітини 1 см × 1 см. Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Існує декілька способів розв'язання цієї задачі. Перший базується на знанні формули для знаходження площі трапеції. Інші потребують набагато менше знань формул обчислення площ. У відео розглянуті різні способи знаходження площі цієї фігури, а також використано додаток Geoboard, інструмент для вивчення різноманітних математичних тем, представлених в шкільному курсі математики. 

Як обчислити площу фігур зображених на малюнку?

Обчислення площі таких многокутників тривалий процес. У 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника зображеного на папері в клітинку. Цій формулі приділив велику увагу Гуго Штейнгауз включив її в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп» в 1969 році, після цього вона стала широко відома великому колу математиків.

Многокутник без самоперетинів називається решітчатим, якщо всі його вершини знаходяться в точках с цілочисловими координатами в декартовій системі координат. Точка координатної площини називається цілочисловою якщо обидві її координати цілі числа. 

Теорема Піка. Знаходження площі решітчатого многокутника S = В + Г / 2 - 1, де   В — кількість цілочислових точок всередині багатокутника, Г — кількість цілочислових точок на межі многокутника. Формула Піка, за допомогою якої можна знаходити площу фігури побудованої на аркуші в клітинку (трикутник, квадрат, трапеція, прямокутник, багатокутник) не є секретом.  (Джерело: https://kuryliak.pp.ua/reguser/5/53/)

Досліджуємо справедливість формули для 

• одиничного квадрата; 
• прямокутника зі сторонами, паралельними осям координат;
• прямокутного трикутника з катетами, які паралельні осям координат;
• довільного трикутника;
• довільного многокутника. 

Можна довести, що при додаванні до многокутника трикутника формула Піка зберігає свою коректність.

Потренуйся!