Арифметична та геометрична прогресії

Термін ”прогресія” (від латинського progressio, що означає ”рух уперед”), запровадив римський учений Боецій, його розуміли ширше , як нескінченну числову послідовність. Назва ”арифметична” та ”геометричну”були перенесені на прогресії з теорії неперервних прогресій, які вивчали стародавні греки.

Перші уявлення про арифметичну і геометричну прогресії мали ще стародавні народи. У клинописних вавилонських табличках і єгипетських папірусах є задачі і вказівки, як їх розв'язувати. У давньоєгипетському папірусі Ахмеса (бл. 2000 р. до н. е.) є така задача :”Нехай тобі сказано :поділити 10 мір ячменю між 10 людьми так, щоб різниця мір ячменю, одержаного кожною людиною і її сусідом , дорівнювала 1/8 міри.”

У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію. Умову цієї задачі, користуючись сучасними позначеннями , можна записати так:

S10 =10 , d=1/8,

знайти a1 a2,.., a10.

В одному давньогрецькому папірусі є така задача:

” У кожному із 7 будинків по 7 котів, кожний кіт з'їдає7 мишей, кожна миша з'дає 7 колосків,кожний з них ,коли посіяти зерно, дає 7 мір зерна. Треба підрахувати суму чисел будинків, котів,мишей,колосків і мір зерна.”

Розв'язування цієї задачі веде до суми:

7+72+73+74+75,

тобто суми п'яти членів геометричної прогресії.

Про прогресії і їх суми знали давньогрецькі вчені. Так, їм були відомі формули суми n перших чисел послідовності натуральних парних і непарних чисел.

Архімед (3 ст. до н.е.) для знаходження площ і об'ємів фігур застосував ” атомістичний метод ”, для чого йому треба було знаходити суми членів деяких послідовностей. Він вивів формулу суми квадратів натуральних чисел.

12+22+32+...+n2=1/6n( n+1 )(2n+1),

показав,як знайти суму нескінченної спадної геометричної прогресії

1+1/4+1/42+… .